Texte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Produit scalaire. Espace préhilbertien, espace euclidien. | Notations $\langle x, y\rangle$, $(x \mid y)$, $x \cdot y$. |
Produit scalaire canonique sur $\mathbb{R}^n$. | Expression $X^\top Y$. |
Produit scalaire $\displaystyle \langle f, g\rangle = \int_a^b fg$ sur $\mathscr{C}\bigl([a,b],\mathbb{R}\bigr)$. | Exemples de produits scalaires intégraux sur $\mathbb{R}[X]$ et $\mathscr{C}\bigl([a,b],\mathbb{R}\bigr)$. |
exo7 1450
A deux polynômes \(P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}\) et \(Q=b_{0}+b_{1}X+b_{2}X^{2}\) d ...
exo7 1451
Pour quelles valeurs de \(\lambda\) les formes bilinéaires ci-dessous définissent-elles un produit scalaire sur ...
exo7 1454
Pour quelles valeurs de \(\lambda\) les formes bilinéaires ci-dessous définissent-elles un produit scalaire sur ...
exo7 1455
Soient \(x = (x_1, x_2)\) et \(y = (y_1, y_2)\) appartenant à ...
exo7 1456
Soient \(x,y\) et \(z\) trois réels tels que ...
exo7 1457
Soient \(x,y\) et \(z\) trois réels tels que ...
exo7 1458
Soient \(E\) un \(\R\)-espace vectoriel non nul, ...
exo7 1459
Soient \((E, \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1460
Montrer que ...
exo7 1462
Soit \(E = \left\{ f : \Rr \rightarrow \Rr \text{ continue $2\pi$-périodique}\right\}\). Montrer que ...
exo7 1463
Soit \(E = \Rr_{n}[X]\). Montrer que ...
exo7 1465
Soient \(a_{1}, \ldots, a_{n},b_{1}, \ldots, b_{n}, c_{1}, \ldots, c_{n}\) des
réels positifs.
Montrer que ...
exo7 1466
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\) et ...
exo7 1468
Montrer que sur \(M_{n}({\Rr})\) l’application : ...
exo7 1469
Soit \(E\) un espace euclidien et \(f\) et \(g\) ...
exo7 1470
Soit \(E\) un espace euclidien, montrer que : ...
exo7 1472
On munit \({\Rr}[X]\) du produit scalaire : ...
exo7 1475
Montrer que l’application \((A, B)\mapsto tr({}^t\! AB)\) de ...
exo7 1497
Soient \(E = \R_n[X], I_n = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} t^ne^{\frac{-t^2}{2}}dt\).
exo7 1501
On munit le \(\Rr\)-espace vectoriel \(\Rr_2[X]\) du produit scalaire défini par ...
exo7 1505
On considère la forme bilinéaire \(b\) de \(\R^{4}\) définie par : ...
exo7 1864
Montrer que : ...
exo7 1999
Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan et ...
exo7 2460
Identité du parallélogramme
Soit \(E\) un \(\R\)-espace vecto ...
exo7 2461
Soit \(E=\R[X]\) l’espace des polynômes à coefficients réels. On définit ...
exo7 3660
Dire si les applications suivantes sont des produits scalaires :
exo7 3664
Soit \(E\) un espace euclidien.
exo7 3672
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien, et \(\vec e_1,\dots,\vec e_n\) des vect ...
exo7 3676
Soient \({f_1,f_2,\dots,f_n} : {[0,1]} \to {\R}\) continues.
Existe-t-il ...
exo7 3681
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension supérieure ou égale à 3. Existe-t-il trois vecteurs ...
exo7 3686
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(\vec u_1,\dots,\vec u_n\) une famil ...
exo7 3687
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1])\) muni du produit scalaire : ...
exo7 3689
Soit \(P \in \R[X]\) de degré inférieur ou égal à 3 tel que ...
exo7 3690
Soit \(E=\mathcal{C}^1([0,1],\R)\) et ...
exo7 3691
Soit \(H\) un espace euclidien, \((y_j)_{j\in I}\) une famille de vecteurs de ...
exo7 3693
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n>1\). Trouver toutes les foncti ...
exo7 3714
La matrice \(A = \begin{pmatrix}4&1&1\cr1&4&1\cr1&1&4\cr\end{pmatrix}\) est-elle une matri ...
exo7 3826
Soit \(E\) un espace préhilbertien réel et \(B\) une boule ouverte de ...
exo7 3837
Soit \(D\) le disque unité fermé de \(\R^2\). On considère l’espace ...
exo7 3841
Soit \(E = \mathcal{C}([a,b],\R)\) et \(u : {[a,b]} \to \R\) une fonction continu ...
exo7 5216
Soient \(a_1\),..., \(a_n\), \(b_1\),..., ...
exo7 5482
Pour \(A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\mathcal{M}_n(\Rr)\), ...
exo7 5483
Soit \(E\) un \(\Rr\) espace vectoriel de dimension finie. Soit ...
exo7 5495
Soit \((e_1,...,e_n)\) une base quelconque de \(E\) euclidien. Soient ...
exo7 5774
Soit \(E=\Rr[X]\). Pour \((P,Q)\in E^2\), on pose ...
exo7 5776
Soit \(\Phi\) l’application qui à deux matrices carrées réelles \(A\) et ...
exo7 5777
Soit \(E\) un \(\Rr\)-espace vectoriel muni d’une norme, notée ...
exo7 5789
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension ...
exo7 5790
Montrer que pour toute matrice carrée \(A\) réelle de format \(n\), on a ...
exo7 6209
Sur \(M_n(\Rr)\) on note \(|A|=\sup_{||x||\leq1}||Ax||\) la norme opérateur de la ...