Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
e) Anneau des matrices carrées
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Anneau $\mathscr{M}_n(\mathbb{K})$. | Non commutativité si $n \geqslant 2$. Exemples de diviseurs de zéro, d’éléments nilpotents. |
Matrice identité, matrice scalaire. | Notation $I_n$. |
Matrices symétriques, antisymétriques. | Notations $\mathscr{S}_n(\mathbb{K})$, $\mathscr{A}_n(\mathbb{K})$. |
Formule du binôme. | Application au calcul de puissances. |
Produit de matrices diagonales, de matrices triangulaires supérieures, inférieures. | |
Matrice inversible, inverse. Groupe linéaire. Inverse d’une transposée. Les opérations élémentaires préservent l’inversibilité. | Notation $\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$. |
Calcul de l’inverse d’une matrice, par opérations élémentaires ou par résolution du système $AX = Y$. | Toute technicité est exclue. |
Condition nécessaire et suffisante d’inversibilité d’une matrice triangulaire ; l’inverse d’une matrice triangulaire inversible est triangulaire. | Cas particulier des matrices diagonales. |
exo7 1381
Soit \(M=\left\{aI_2+bJ\in\mathcal{M}_2(\Rr):a,b\in\Rr\right\}\) où ...
exo7 1413
Soit \(GL_2(\Rr)\) l’ensemble des matrices inversibles \(2\times 2\) à cœfficient ...
exo7 1521
On appelle trace d’une matrice \(A\), et on note \(\mathrm{tr}(A)\), la ...
exo7 1527
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices symétriques positives. Soit ...
exo7 1531
Soit \(A =(a_{ij}) \in \textbf{M}_n(\R)\). Montrer que \(S = {}^t\! A\cdot A\) es ...
exo7 1565
Soit \(A=(a_{i,j})\in \mathcal{O}(n,\R) .\) Montrer pour tout ...
exo7 1574
Soit \(A\in M_3 (\R )\) la matrice ...
exo7 1578
Déterminer toutes les matrices \(A\) de \(\mathcal{M}_{2,2}(\R)\) telles que ...
exo7 1580
Réduire la matrice ...
exo7 1581
Soit \(A\in\mathcal{M}_2(\C)\) de trace non nulle. Montrer que toute matrice ...
exo7 1589
Montrer que \(P=(X-1)^2(X-2)\) est un polynôme annulateur de la matrice ...
exo7 1594
Soient \(J=\left(\begin{smallmatrix} 1&1\\1&1\end{smallmatrix}\right)\) et la matrice par blocs à coeffici ...
exo7 1595
On considére la matrice ...
exo7 1596
On se place dans \(E=\C\,\,^4\) muni de sa base canonique ...
exo7 1598
Soit \(A \in \mathcal{O}_n(\R)\). Montrer que si \(-1\) n’est pas valeur propre d ...
exo7 1606
Soit \(J\) la matrice ...
exo7 1607
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices de ...
exo7 1608
Soit \(M\) la matrice suivante : ...
exo7 1615
Soit \(A=\left (\begin{array}{cc} 1&4\\2&3\end{array}\right ).\) Trouver les valeurs propres de ...
exo7 1618
On considère les matrices suivantes ...
exo7 1619
Soit \(n\) un entier strictement supérieur à 1. Soit \(A\) une matrice ...
exo7 1627
Pour quelles valeurs de \(a\), \(b\) et \(c\) le ...
exo7 1632
Soit \(\alpha\) et \(\beta\) deux réels, et ...
exo7 1636
Soit ...
exo7 1637
On considère une matrice \(A\in\mathcal{M}_{nn}(\C)\) et l’application ...
exo7 1639
Soit \(A\) la matrice ...
exo7 1641
Déterminer les valeurs propres des matrices suivantes. Sont-elles diagonalisables, triangularisables ?
...
exo7 1647
Montrer que si \(A\) est une matrice symétrique réelle, alors \(A + iI\) est inve ...
exo7 1649
Soit \(A\in M_n(\Rr)\) telle que \(A^2=-I .\)
exo7 1650
Soient \(\ M\) et \(N \in M_n (\mathbb{K} ) .\) On note ...
exo7 1658
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\), dont la matrice dans la base ca ...
exo7 1664
Étudier le caractère diagonalisable des matrices suivantes
exo7 1666
Soient les matrices ...
exo7 1668
On considère la matrice par blocs ...
exo7 1671
Soit \(B\) une matrice diagonalisable de ...
exo7 1687
Mettre sous forme triangulaire les matrices suivantes : ...
exo7 1703
Soit \(A\in\mathcal{M}_{3}(\R)\) la matrice ...
exo7 1707
Réduire la matrice \[A= \begin{pmatrix} 0& 1& 1\\ 1& 1& 0\\ 1&-3& 4 \end{pmatrix}\] ...
exo7 1712
On considère la matrice ...
exo7 1714
Soit la matrice ...
exo7 1716
Calculer les puissances et l’exponentielle (\(e^M=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{M^k}{k!}\)) des matrices suivantes : ...
exo7 1727
Soit \(A\in M_n(\mathbb{K} ) .\) On note ...
exo7 1728
Les parties I, II, III et IV peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.
Soient ...
exo7 1899
Soit \(A\in M_n(\Cc )\). Montrer quil existe une suite de matrices ...
exo7 2112
Montrer que l’ensemble des matrices carrées à \(n\) lignes et \(n\) colonnes de d ...
exo7 2113
On considère l’ensemble \(E\) des matrices carrées à coefficients réels de la forme
...
exo7 2123
On pose ...
exo7 2210
Soit \(n \in \Nn\) et on définit les matrices suivantes dans \(\Rr^{n\times n}\): ...
exo7 2211
Démontrer l’identité \[(A + UBV)^{-1} = A^{-1} -A^{-1} U( I+BVA^{-1}U)^{-1} BVA^{-1}\] en précisant:
-
...
exo7 2213
Montrer que si \(\rho (A) <1\) alors