Programme de mathématiques PCSI · semestre 1
c) Théorèmes de Rolle et des accroissements finis
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Théorème de Rolle. | |
Égalité des accroissements finis. | Interprétations géométrique et cinématique. |
Inégalité des accroissements finis : si $f$ est dérivable et si $\lvert f'\rvert$ est majorée par $K$, alors $f$ est $K$-lipschitzienne. | La notion de fonction lipschitzienne est introduite à cette occasion. Application à l’étude de suites définies par une relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$. |
Caractérisation des fonctions dérivables constantes, monotones, strictement monotones sur un intervalle. | |
Théorème de la limite de la dérivée : si $f$ est continue sur $I$, dérivable sur $I\setminus\{a\}$ et si $\lim\limits_{\substack{x\to a\\ x\neq a}}f'(x)=\ell\in\mathbb{R}$, alors $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a)=\ell$. Extension au cas où $\ell=\pm\infty$. | La fonction $f'$ est alors continue en $a$. |
Etude de point fixe
On s’intéresse au calcul de \(\ell\in[0;\pi]\) tel que ...
exo7 1224
Soit \(g\) une fonction \(2\) fois dérivable sur ...
exo7 1225
Soit \(f : { \Rr}\rightarrow { \Rr}\) une fonction deux fois dérivable telle que ...
exo7 1227
Soit \(f:\Rr_+\rightarrow \Rr_+^*\) une fonction bornée deux fois dérivable et telle qu’il existe ...
exo7 1234
Soit \(f\) une fonction dérivable et \(a\) un réel. Soit ...
exo7 1235
Soit \(I\) un intervalle ouvert contenant \(0\) et ...
exo7 1269
Soient \(a,b,c \in { \Zz}\) tels que : \(ae^2+be+c=0 .\)
exo7 1270
Soit \(f\in C^{\infty }({\Rr},{\Rr})\) telle que ...
exo7 1272
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que ...
exo7 1277
Soit \(f :[a,b]\rightarrow { \Rr}\) une fonction de classe \(C^1\) telle que ...
exo7 1732
Soit \(f \in C^2 (\Rr)\) convexe.
exo7 1863
Soit \(f:\R^n\to \R\) une application différentiable. Montrez que si ...
exo7 2518
Soit \(f\) une application réelle continue et dérivable sur \(]a,b[\) telle que ...
exo7 2519
Montrer que l’identité des accroissements finis n’est pas vraie pour les fonctions vectorielles en considérant ...
exo7 2688
Soit \(f:[a,+\infty[ \to \R\) une fonction de classe \(C^1\), telle que
...
exo7 3190
Soit \(S\subset \N\) fini et \(P=\sum_{s\in S} a_sX^s\in\C[X]\).
exo7 3232
Soit \(P \in {\R[X]}\) dont toutes les racines sont réelles.
exo7 3239
Soit \(P = \sum_{k=0}^n a_kX^k \in {\R[X]}\) dont les racines sont réelles simples.
exo7 3935
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable et \(a \in \R\) tel que ...
exo7 3937
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable et bornée telle que ...
exo7 3938
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable telle que \(f'(x) \to \ell\) lorsque ...
exo7 3942
Soient \({f,g} : {[a,b]} \to \R\) dérivables avec : ...
exo7 3944
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R}\) dérivable telle que \(f(a) = f(b) = 0\), et ...
exo7 3945
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) dérivable telle que \(f'(a) = f'(b)\).
...exo7 3946
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) dérivable, telle que \(f(a) = f(b) = 0\). Montrer que ...
exo7 3947
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) \(n\) fois dérivable.
exo7 3948
Soit \(f : {[a,+\infty[} \to \R\) dérivable telle que \(f(x) \to f(a)\) lorsque ...
exo7 3949
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable telle que : ...
exo7 3950
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) bornée.
exo7 3951
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\).
exo7 3953
On pose \(f(t) = (t^2-1)^n\).
exo7 3958
Pour \(k\in\N\), \(k\ge 2\), appliquer le théorème des accroissements finis à ...
exo7 3962
Soient \({u,v} : {\R} \to {\R}\) deux fonctions telles que : ...
exo7 3979
On note \(E\) l’ensemble des fonctions \(f\) de classe ...
exo7 3988
Soit \(f : \R \to \R\) deux fois dérivable telle que : \(f \ge 0\), ...
exo7 3989
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to {\R}\) deux fois dérivable telle que ...
exo7 3994
Soit \(f : \R \to \R\) convexe dérivable.
exo7 3996
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to {\R}\) concave, dérivable, croissante.
exo7 4003
Soit \(f\) continue et croissante sur \(\R^+\). On pose ...
exo7 4006
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) telle que pour tous ...
exo7 4007
Soit \(f : {\R^+} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) telle que ...
exo7 4009
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). On note ...
exo7 4011
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^{n+1}\). Pour ...
exo7 4012
Différences finies Soit \(f:\R \to \R\) de classe ...
exo7 4016
Soit \(f : {]0,+\infty[} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que ...
exo7 421
Soit \(P \in \Rr[X]\) scindé sur \(\Rr\) à racines simples.
exo7 4251
Soit \(f : {[0, a[} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) telle que ...
exo7 4261
Soit \(E = \mathcal{C}([a,b])\), et ...
exo7 4292
Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) vérifiant ...
exo7 4309
Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) de classe \(\mathcal{C}^1\), intégrable.