Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
B - Déterminants
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★ Le déterminant est présenté dans sa version matricielle. L’interprétation géométrique en terme d’aire et de volume algébrique est faite via le produit mixte défini dans la section « Géométrie du plan et de l’espace ». Les capacités attendues sont la connaissance et l’utilisation des propriétés du déterminant permettant un calcul simple via des opérations élémentaires. Tout excès de technicité est exclu et l’outil informatique est utilisé dès que le calcul s’avère trop lourd. Le vocabulaire des formes multilinéaires alternées, le groupe symétrique et les formules de Cramer sont hors programme.
- a) Déterminant d’une matrice carrée 349
- b) Propriétés du déterminant 6
- c) Déterminant d’une famille de vecteurs, d’un endomorphisme 45
exo7 1154
Une matrice carrée \(A=(a_{ij})_{i,j\in \{ 1,\ldots, n \} }\in M_n({\Rr})\) est dite triangulaire supérieure lorsq ...
exo7 1155
On considère les matrices :
...
exo7 1157
Soit \(A \in M_3 (\Rr)\) anti-symétrique. Calculer \(\det (A)\). Ce résultat vaut ...
exo7 1159
Soit \(\left( A,B\right) \in M_{n}({\Rr})^{2}\) tel que \(A^{2}+B^{2}=AB\) et ...
exo7 1161
Montrer que si \(n\in \Nn^{*}, A\in M_{n}({\Rr})\) : ...
exo7 1181
Inverser en utilisant un système linéaire la matrice ...
exo7 1183
Résoudre \(\begin{cases} -cy + bz = \alpha \\ cx-az = \beta \\ -bx + ay = \gamma \end{cases}\).
exo7 1187
Pour quelles valeurs de \(a\) la matrice ...
exo7 1313
Soit l’ensemble ...
exo7 1314
Pour la multiplication usuelles des matrices carrées, les ensembles suivants sont-ils des groupes : ...
exo7 1321
On nomme \(M_n({\Zz})\) l’ensemble des matrices de taille \(n\times n\) à coeffic ...
exo7 1322
L’ensemble des matrices \(\begin{pmatrix} a & c \cr b & d \cr \end{pmatrix}\) avec ...
exo7 1344
Pour tout couple \((a,b)\) de \(\Rr^2\), on pose la matrice ...
exo7 1347
Pour tout couple \((a,b)\) de \(\Rr^2\), on pose ...
exo7 1356
Soient les ensembles ...
exo7 1381
Soit \(M=\left\{aI_2+bJ\in\mathcal{M}_2(\Rr):a,b\in\Rr\right\}\) où ...
exo7 1413
Soit \(GL_2(\Rr)\) l’ensemble des matrices inversibles \(2\times 2\) à cœfficient ...
exo7 1521
On appelle trace d’une matrice \(A\), et on note \(\mathrm{tr}(A)\), la ...
exo7 1527
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices symétriques positives. Soit ...
exo7 1531
Soit \(A =(a_{ij}) \in \textbf{M}_n(\R)\). Montrer que \(S = {}^t\! A\cdot A\) es ...
exo7 1532
Soit \((E,<,>)\) un espace euclidien de dimension \(p\). A chaque ...
exo7 1565
Soit \(A=(a_{i,j})\in \mathcal{O}(n,\R) .\) Montrer pour tout ...
exo7 1574
Soit \(A\in M_3 (\R )\) la matrice ...
exo7 1578
Déterminer toutes les matrices \(A\) de \(\mathcal{M}_{2,2}(\R)\) telles que ...
exo7 1580
Réduire la matrice ...
exo7 1581
Soit \(A\in\mathcal{M}_2(\C)\) de trace non nulle. Montrer que toute matrice ...
exo7 1589
Montrer que \(P=(X-1)^2(X-2)\) est un polynôme annulateur de la matrice ...
exo7 1594
Soient \(J=\left(\begin{smallmatrix} 1&1\\1&1\end{smallmatrix}\right)\) et la matrice par blocs à coeffici ...
exo7 1595
On considére la matrice ...
exo7 1596
On se place dans \(E=\C\,\,^4\) muni de sa base canonique ...
exo7 1598
Soit \(A \in \mathcal{O}_n(\R)\). Montrer que si \(-1\) n’est pas valeur propre d ...
exo7 1606
Soit \(J\) la matrice ...
exo7 1607
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices de ...
exo7 1608
Soit \(M\) la matrice suivante : ...
exo7 1615
Soit \(A=\left (\begin{array}{cc} 1&4\\2&3\end{array}\right ).\) Trouver les valeurs propres de ...
exo7 1618
On considère les matrices suivantes ...
exo7 1619
Soit \(n\) un entier strictement supérieur à 1. Soit \(A\) une matrice ...
exo7 1627
Pour quelles valeurs de \(a\), \(b\) et \(c\) le ...
exo7 1632
Soit \(\alpha\) et \(\beta\) deux réels, et ...
exo7 1636
Soit ...
exo7 1637
On considère une matrice \(A\in\mathcal{M}_{nn}(\C)\) et l’application ...
exo7 1639
Soit \(A\) la matrice ...
exo7 1641
Déterminer les valeurs propres des matrices suivantes. Sont-elles diagonalisables, triangularisables ?
...
exo7 1647
Montrer que si \(A\) est une matrice symétrique réelle, alors \(A + iI\) est inve ...
exo7 1649
Soit \(A\in M_n(\Rr)\) telle que \(A^2=-I .\)
exo7 1650
Soient \(\ M\) et \(N \in M_n (\mathbb{K} ) .\) On note ...
exo7 1658
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\), dont la matrice dans la base ca ...
exo7 1664
Étudier le caractère diagonalisable des matrices suivantes
exo7 1666
Soient les matrices ...
exo7 1668
On considère la matrice par blocs ...