Programme de mathématiques PSI
d) Diagonalisabilité et polynômes annulateurs
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement s’il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. | La démonstration n’est pas exigible. Traduction matricielle. Le lemme de décomposition des noyaux est hors programme. |
L’endomorphisme induit par un endomorphisme diagonalisable sur un sous-espace vectoriel stable est diagonalisable. Un endomorphisme $u$ est diagonalisable si et seulement s’il admet $\displaystyle \prod_{\lambda \in \operatorname{Sp}(u)} (X - \lambda)$ pour polynôme annulateur. |
exo7 1100
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et ...
exo7 1551
A — Soit \(E\) un espace vectoriel et \(u\) et ...
exo7 1576
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie ...
exo7 1580
Réduire la matrice ...
exo7 1582
Que peut-on dire d’un endomorphisme d’un \(K\)-espace vectoriel de dimension finie annulé par les polynômes ...
exo7 1596
On se place dans \(E=\C\,\,^4\) muni de sa base canonique ...
exo7 1609
Soit \(f\) un endomorphisme de \(E=\C^{n}\). Soit ...
exo7 1613
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\) et de base ...
exo7 1630
Soit \(f\) un endomorphisme diagonalisable d’un espace vectoriel \(E\) et ...
exo7 1631
Soit \(P_{0}\) un polynôme de \(\R_{n}[X]\), et ...
exo7 1632
Soit \(\alpha\) et \(\beta\) deux réels, et ...
exo7 1636
Soit ...
exo7 1637
On considère une matrice \(A\in\mathcal{M}_{nn}(\C)\) et l’application ...
exo7 1645
Soient \(\R^n\) euclidien, \(f \in \textbf{O}_n(\R)\). Montrer que ...
exo7 1650
Soient \(\ M\) et \(N \in M_n (\mathbb{K} ) .\) On note ...
exo7 1653
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 1654
Soit \(f \in \mathcal{L} (\R ^3)\) déterminée par sa matrice ...
exo7 1656
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 1657
Soit \(\rho\) l’application de \(\R _4[X]\) dans lui-même qui à un polynôme ...
exo7 1659
Soit \(f\) un automorphisme d’un \(\Cc\)-espace vectoriel ...
exo7 1666
Soient les matrices ...
exo7 1667
Soient \(E\) un \(\Cc\)-espace vectoriel de dimension ...
exo7 1671
Soit \(B\) une matrice diagonalisable de ...
exo7 1678
Soient \(f\in\mathcal{L}(E)\), \(F\) un sous-espace vectoriel de ...
exo7 1684
Soient \(E\) un \(K\)-espace vectoriel de dimension finie, ...
exo7 1695
Soit \(\rho\) l’application de \(\R_4[X]\) dans lui-même qui à un polynôme ...
exo7 1699
Soit \(u\in\mathcal{L}(\R^4)\) de matrice dans la base canonique : ...
exo7 1700
Soit \(A\in M_3 (\R )\) telle que \(A^3=-A\) et ...
exo7 1709
Etant donnés quatre nombres réels \((u_{0},v_{0},w_{0},x_{0})\), on définit quatre nouveaux nombres ...
exo7 1712
On considère la matrice ...
exo7 1717
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension finie \(n\). Soit ...
exo7 1728
Les parties I, II, III et IV peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.
Soient ...
exo7 2471
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) sur un corps ...
exo7 3510
Soit \(E = K_n[X]\) et ...
exo7 3517
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\C)\). L’endomorphisme \(f\) de ...
exo7 3544
Soit ...
exo7 3545
Soit \(E = K_n[X]\) et \(u : E \to E, P \mapsto {X^nP(1/X).}\)
exo7 3548
Soit \(E\) un \(\C\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3549
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\C)\) inversible diagonalisable et ...
exo7 3550
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et ...
exo7 3551
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(A^3 = A + I\). Montrer que ...
exo7 3553
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\) telle que \(A^n = I\) et ...
exo7 3554
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\). On suppose que les valeurs propres de \(A\) son ...
exo7 3555
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3556
Soit \(f\) un endomorphisme diagonalisable d’un ev \(E\) de dimension finie, ...
exo7 3557
Soit \(E\) un \(\C\)-ev de dimension ...
exo7 3568
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(u\in\mathcal{L}(E)\). On c ...
exo7 3571
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3576
Soit \(\Phi : {\mathcal{M}_n(\C)}\to {\mathcal{M}_n(\C)}\) un automorphisme d’ev tel que : ...
exo7 3579
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...