Programme de mathématiques PSI
B - Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
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La réduction des endomorphismes et des matrices carrées permet d’approfondir les notions étudiées en première année. Il est attendu des étudiants qu’ils maîtrisent les deux points de vue suivants :
- l’aspect géométrique (sous-espaces stables, éléments propres) ;
- l’aspect algébrique (utilisation de polynômes annulateurs).
L’étude des classes de similitude est hors programme ainsi que la notion de polynôme minimal.
- a) Éléments propres 251
- b) Polynôme caractéristique 185
- c) Diagonalisation en dimension finie 203
- d) Diagonalisabilité et polynômes annulateurs 64
- e) Trigonalisation en dimension finie 26
exo7 1618
On considère les matrices suivantes ...
exo7 1620
On considère la matrice ...
exo7 1621
Soit \(T\) l’application linéaire de \(\mathbb R^3\) dans ...
exo7 1622
Lorsque c’est possible, diagonaliser les matrices suivantes :
...
exo7 1623
Pour quelles valeurs de \((a,b,c)\in\C^{2}\) la matrice ...
exo7 1624
Soit \(u\) l’application suivante : ...
exo7 1625
Soit \(A\in\mathcal{M}_{n}(\R)\). Montrer que si \(\lambda\) est une valeur propr ...
exo7 1626
Soit \(A_{t}\) la matrice ...
exo7 1627
Pour quelles valeurs de \(a\), \(b\) et \(c\) le ...
exo7 1628
Soient \(u\) et \(v\) deux endomorphismes diagonalisables de ...
exo7 1629
Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables, triangularisables ? Si oui, les réduire. ...
exo7 1630
Soit \(f\) un endomorphisme diagonalisable d’un espace vectoriel \(E\) et ...
exo7 1631
Soit \(P_{0}\) un polynôme de \(\R_{n}[X]\), et ...
exo7 1632
Soit \(\alpha\) et \(\beta\) deux réels, et ...
exo7 1633
Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables, triangularisables, sur \(\R\) et sur ...
exo7 1634
On considère un endomorphisme \(f\) d’un \(\C\) espace vectoriel ...
exo7 1635
La matrice suivante est-elle diagonalisable, triangularisable ? Effectuer explicitement la réduction. ...
exo7 1636
Soit ...
exo7 1637
On considère une matrice \(A\in\mathcal{M}_{nn}(\C)\) et l’application ...
exo7 1638
A \(n\) nombres complexes \((a_{1},...,a_{n})\in\C^{n}\) avec ...
exo7 1639
Soit \(A\) la matrice ...
exo7 1640
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, et \(u\) un endomorphisme de ...
exo7 1641
Déterminer les valeurs propres des matrices suivantes. Sont-elles diagonalisables, triangularisables ?
...
exo7 1642
Soit \(A\) la matrice ...
exo7 1643
Dans l’espace vectoriel \(\R_{3}[X]\), on considère l’application linéaire suivante : ...
exo7 1644
On considère un réel \(\alpha\) et l’application \(T_{\alpha}\) suivante : ...
exo7 1645
Soient \(\R^n\) euclidien, \(f \in \textbf{O}_n(\R)\). Montrer que ...
exo7 1646
Diagonaliser en base orthonormale les matrices suivantes : ...
exo7 1647
Montrer que si \(A\) est une matrice symétrique réelle, alors \(A + iI\) est inve ...
exo7 1648
Soit \(f\) un endomorphisme de \(\C^3\) dont la matrice par rapport à la base can ...
exo7 1649
Soit \(A\in M_n(\Rr)\) telle que \(A^2=-I .\)
exo7 1650
Soient \(\ M\) et \(N \in M_n (\mathbb{K} ) .\) On note ...
exo7 1652
Soient \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie, ...
exo7 1653
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 1654
Soit \(f \in \mathcal{L} (\R ^3)\) déterminée par sa matrice ...
exo7 1656
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 1657
Soit \(\rho\) l’application de \(\R _4[X]\) dans lui-même qui à un polynôme ...
exo7 1658
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\), dont la matrice dans la base ca ...
exo7 1659
Soit \(f\) un automorphisme d’un \(\Cc\)-espace vectoriel ...
exo7 1660
Les questions sont indépendantes. \(K\) désigne \(\Rr\) ou ...
exo7 1661
Étudier le caractère diagonalisable des matrices suivantes et le cas échéant, les diagonaliser :
exo7 1662
Soient \(A\in \mathcal{M}_n(K)\) telle que \(\text{tr}(A)\not= 0\) et ...
exo7 1663
Montrer que si le polynôme minimal d’un endomorphisme \(f\) d’un \(K\)-espace vec ...
exo7 1664
Étudier le caractère diagonalisable des matrices suivantes
exo7 1665
Soient \(E\) un \(K\)-espace vectoriel de dimension ...
exo7 1666
Soient les matrices ...
exo7 1667
Soient \(E\) un \(\Cc\)-espace vectoriel de dimension ...
exo7 1668
On considère la matrice par blocs ...
exo7 1669
On désigne par \(E\) l’espace vectoriel des polynôme s à coefficients réels, et par ...
exo7 1670
Pour tout élément non nul \(a=(a_1, a_2, \ldots ,a_n)\) de \(\mathbb{R}^{n}\), on ...